导数与微分基本概念.ppt 48页

  第三章 导数与微分 局部变化速度 & 局部改变量的估值 本章内容 §1 导数概念 §2 计算 §3 微分概念 促使微分学产生的三个问题 求变速直线运动的瞬时速度 求曲线上一点处的切线 求极大值和极小值 §1 导 数 两个原型 导数概念 左、右导数 连续性与可导性之间的联系 高阶导数的概念 §1.1 抽象导数概念的两个现实原型 求变速直线运动的瞬时速度 求曲线上一点处的切线 对变速直线运动,在一个时间段内,速度可以改变很多次,例如 汽车在一个小时的行程中,其速度会发生很多变化 悬浮在水中的花粉的运动速度,由于水分子的碰撞而速度急剧地变化 用平均速度近似瞬时速度 瞬时速度可以看作平均速度的极限 原理:汽车在一小时内速度经常变化,但在一个较小的时间段内,其速度变化会较少 原型 I 求瞬时速度 设一质点 M 从点 O 开始作变速直线运动,经 T 秒到达 P 点, 求该质点在 t_0 时刻的瞬时速度 原型 II 求曲线的切线的斜率 求曲线上一点处的切线 求切线斜率三部曲 求增量 求增量比 取极限 现撇开变量所代表的物理意义,只看它们纯数学形式,发现以上的问题就是要求去计算一个函数的改变量 还有很多实际或理论问题,如物体在某点的加速度,求局部密度等,都可归结为求这样一个极限。 于是有必要把这个特定的极限从具体问题中抽象出来加以研究,这便产生了导数的概念。 §1.2 导数概念 导数定义 说明: 导数的力学意义 导数计算三部曲 求增量 求增量比 取极限 导函数 三、函数在可导点的局部性质 函数在x=0是否连续? * * Fermat’s Idia 原型 I 求瞬时速度 如果质点作直线匀速直线运动,则 原型 I 求瞬时速度 以 O 为原点,沿质点运动的方向建立数轴,用 s 表示质点运动的路程: 求 时刻的瞬时速度 Step1 求增量 Step2 求增量比 当Δt 很小时,速度不及有较大的变化,可把质点在Δt时间间隔内的运动近似看成匀速运动,求平均速度: Step3 取极限 当Δt 越来越小,平均速度越来越接近于瞬时速度: 切线作为割线的极限位置 1.定义: 变速直线运动物体在时刻 t_0 的瞬时速度 v(t_0) 是路程函数 s=f(t) 在时刻 t_0的导数: 导数的几何意义 曲线在某点的切线的斜率 *